Spieldesign - Expotentialfunktion für stufenlose Steigerung von Eigenschaften

Aufgabe

Wertebereich: 0 - unendlich Steigerung: 0 bis 1 kostet S, 1 bis 2 kostet S * E, 2 bis 3 kostet S * E² usw. Grundsätzlich: N bis N+1 kostet S * E^N

Berechnung

Die Kosten sind ein Integral einer Expotentialfunktion A * e^{B * x}.

Das unbestimmte Integral davon ist dann (A / B) * e^{B * x}.

Das bestimmte Integral von x = N+1 bis x = N ist dann:

(1) (A / B) * (e^{B * (N + 1)} - e^{B * N})
= (A / B) * (e^{B * N} * e^B - e^{B * N})
= (A / B) * e^{B * N} * (e^B - 1) = S * E^N (laut unserer Aufgabe)

Das bestimmte Integral von 0 bis 1 (N = 0) ist insbesondere:

(2) (A / B) * (e^B - 1) = S (laut unserer Aufgabe)

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Wir versuchen nun A' und B zu bestimmen. S aus (2) in (1) eingesetzt ergibt:

(A / B) * e^{B * N} * (e^B - 1) = (A / B) * (e^B - 1) * E^N

A kann nicht 0 sein (weil dann einfach konstant keine Kosten entstehen würden), B kann nicht 0 sein ausser in dem Fall gleich bleibender Kosten (dieser Fall ist trivial mit E = 1) und damit ist (A / B) nicht 0 und definiert und damit können wir es kürzen:

e^{B * N} * (e^B - 1) = (e^B - 1) * E^N

(e^B - 1) kann aus demselben Grund nicht 0 sein und kann ebenso weggekürzt werden:

e^{B * N} = E^N

e^B = E

(3) B = ln E

Wir fügen das Ergebnis in (2) ein:

(A / ln E ) * (e^{ln E} - 1) = S

(A / ln E ) * (E - 1) = S

(4) A = (S * ln E) / (E - 1)